クラン（クラン、ファイブレーション、スパン）に、バート・ジェイコブスの意味での包括構造（「拡張包括構造のもうひとつの定式化」参照）を載せると包括クラン（「テレスコープと包括クラン」参照）になります。
包括クランは、型理論の圏論的定式化の基本的な道具になると思っています。が、クランと包括クランの中間の構造として、クランに“とある反変関手”を載せた構造を調べたほうが良さそうです。“とある反変関手”を今までエス関手（「コンテキストの圏と指標の圏と限量子 // エス関手」参照）と呼んできました。「エス関手」はテキトーなネーミングだったので、ここで特性関手〈feature functor〉にリネームすることにします。特性関手の余域は1-圏とは限らないので、余域がk-圏となる特性関手をk-特性関手と呼ぶことにします。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
`$
内容：
エス関手から特性関手へ
型理論とインスティテューション理論で共通に登場する関手をエス関手〈ess functor〉と呼んだのは、関手の値である集合の要素が「型理論では sort」、「インスティテューション理論では sentence」、「拡張包括構造としては拡張の step」なので、どれもエスだからです。
論理まで考えると、エス関手の値である集合の要素は、「proposition〈命題〉」、「predicate〈述語〉」、「property〈性質〉」などと呼ばれます。それじゃピー関手か？ となります。一般的な状況では「declaration〈宣言〉」だろうし、宣言が図形的なとき（「CW指標とCWテレスコープ（実例）」参照）は「attachment〈添加〉」です。当たり前ですが、最初の一文字はバラバラになります。
それと、エス関手の余域が集合圏ではないケースも多くて、エス関手がインデックス付き圏〈indexed category〉となることもあります。つまり、一般には余域がk-圏となります。ただし、完全に抽象的なk-圏では議論がしにくいので具象k-圏だとします。具象2-圏については「述語論理： ハイパードクトリンとパルムクイスト二重圏 // エス関手」で述べています。具象1-圏については「圏の具象性に関する資料」で参考文献を挙げています。次元3以上の具象性はよく分かりませんが、当面使うこともないと思います。
具象k-圏を余域とするような関手をk-特性関手〈k-feature functor | k-フィーチャ関手〉*1（次節も参照）と呼ぶことにします。k-特性関手を備えた圏（実際は特性関手そのものですが）はk-特性付き圏〈k-featured category | category with k-features〉です。特性関手の域が何か構造を持つときは、例えばk-特性付きモノイド圏〈k-featured monoidal category〉とかk-特性付きデカルト圏〈k-featured Cartesian category〉とかの言い方ができます。
型理論に関係して、我々が興味を持つのはk-特性付きクラン〈k-featured clan〉です。この場合、特性関手は反変関手です。双対的な構造はk-余特性付きコクラン〈k-cofeatured coclan〉としましょう。コクラン上の余特性関手〈cofeature functor〉は共変関手です。
一般化コンテナとの関係
「コレクション関手の新しい定義 // コンテナの一般化」において、コンテナを一般化した概念を導入しました。k-特性関手とk-コンテナ（2-コンテナについては「2-コンテナ」参照）は、同じ概念です。しかし、用途や文脈は異なります。
コンテナの用途は、コンテナのポジションに値割り当て〈value assignment〉してデータ構造を作ることです。k-特性関手（とk-余特性関手）は、型理論／インスティテューション理論の主役となる圏（包括クラン）の前段階・下部構造として登場します。
k = 0, 1, 2 の場合の、圏 $`\cat{C}`$ 上のk-特性関手 $`F`$ とは以下のようなものです。定義は、反変関手であることを除けば*2一般化コンテナと同じです。以下に出てくる $`\dimU{\hyp}{n}`$ という記法については「圏の次元調整」を参照してください。$`k\mbf{Cat}_{\#r}`$ は、サイズレベル（「Diag構成のメタレベル // 圏論的世界とメタレベル」参照）が $`r`$ の$`k`$-圏達からなる$`(k + 1)`$-圏です。
k = 0 ：
$`\quad F : \dimU{\cat{C^\op}}{0} \to S \In 0\mbf{Cat}_{\#r}`$
k = 1 ：
$`\quad F : \dimU{\cat{C^\op}}{1} \to \cat{D} \In 1\mbf{Cat}_{\#r}`$
k = 2 ：
$`\quad F : \dimU{\cat{C^\op}}{2} \to \cat{K} \In 2\mbf{Cat}_{\#r}`$
ここで、$`S`$ は単なる集合、$`\cat{D}`$ は普通の圏（ただし具象的）、$`\cat{K}`$ は具象的2-圏です。k = 1 の典型例は前層、k = 2 の典型例はインデックス付き圏です。
$`\quad F : \cat{C}^\op \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}`$ （$`F`$ は前層）
$`\quad F : \dimU{\cat{C}^\op}{2} \to \mbf{CAT} \In 2\mathbb{CAT}`$ （$`F`$ はインデックス付き圏）
k-特性付き圏のあいだの準同型射
0-特性付き圏はそれほど面白くなく、2-特性付き圏はだいぶ難しくなるので、1-特性付き圏について考えましょう。
$`A:\cat{C} \to \cat{X}`$ と $`B:\cat{D} \to \cat{Y}`$ は2つの1-特性付き圏だとします。これらのあいだの準同型射〈homomorphism〉は次のような3つ組 $`(F, \Phi, \varphi)`$ だとします。
$`\quad \xymatrix{
{}
&\cat{X} \ar[dr]^\Phi
&{}
\\
{\cat{C}} \ar[ur]^A \ar[dr]_F
\ar@{.}[rr]|{\varphi\Downarrow}
&{}
&{\cat{Y}}
\\
{}
&\cat{D} \ar[ur]_B
&{}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
この準同型射は以下のように書きます。
$`\quad (F, \Phi, \varphi) : (\cat{C}, A, \cat{X}) \to (\cat{D}, B, \cat{Y})\In 1\mbf{FeaturedCAT}`$
3つ組 $`(F, \Phi, \varphi)`$ に $`A, B`$ も加えるとクインテット〈5つ組〉になります。2-圏 $`\mbf{CAT}`$ のクインテットは二重圏の二重射を定義します（「2-圏からのクインテット構成で二重圏」参照）。クインテットの場合、タイト方向／プロ方向をどちらに取るかの基準はありませんが、1-特性関手をタイト射とするなら、二重射は次のように描けます。矢印にスラッシュはプロ射の目印です。
$`\quad \xymatrix{
\cat{C} \ar[r]|{/}^F \ar[d]_A
\ar@{}[dr]|{\varphi}
&\cat{D} \ar[d]^B
\\
\cat{X} \ar[r]|{/}_\Phi
&\cat{Y}
}`$
二重圏に編成することにどれほどの意味があるのか今のところ不明です*3が、とりあえず、1-特性付き圏の準同型射を二重射と見るのは便利です。
そしてそれから
k-特性付き圏は、クランと包括クランの中間の構造と考えています。k-特性付きクランからグロタンディーク構成をしてファイバー付き圏〈グロタンディーク・ファイブレーション〉を作ります。このファイバー付き圏が包括構造〈拡張包括構造〉を載せる台になります。
k-特性付きクランの構造や性質が、対応するファイバー付き圏や、その上に載る包括構造にどのような影響を及ぼすか？ k-特性付きクランのあいだの準同型射と包括クランの準同型射はどのように関係するか？ -- ここらへんがとりあえず調べるべき課題でしょう。