「順序数と集合圏」において順序数の話をしました。その続きとして、この記事では基数の話をします。集合圏の骨格を作ると同時に、フォン・ノイマン流の基数割り当ても定義します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
%\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\O}{ \mathbb{O} }
\newcommand{\U}{ \mathbb{U} }
\newcommand{\C}{ \mathbb{C} }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\ineq}{ \mathrel{\underline{\in}} }
`$
内容：
設定
設定は「順序数と集合圏」と同じなので、「順序数と集合圏 // 設定と基本概念と注意事項」を読んでください。以下、幾つかの追加事項を書きます。「順序数と集合圏」と同様、重要な概念・用語だがこの記事内では説明してないものを青い文字で書きます。
カレントのグロタンディーク宇宙 $`\U`$ の外側の宇宙を $`\mathbb{U'}`$ とします。$`\mbf{Set}_{\mathbb{U'}}`$ が $`\mbf{SET}`$ です。その他、“大きなナントカ”達の圏（大きな“ナントカ達の圏”ではない）には大文字で名前を付けます。
- $`\mbf{ORD}`$ ： 大きな順序集合達の圏
- $`\mbf{TotORD}`$ ： 大きな全順序集合達の圏
- $`\mbf{WellORD}`$ ： 大きな整列集合達の圏
- $`\mbf{PREORD}`$ ： 大きなプレ順序集合達の圏
- $`\mbf{CAT}`$ ： 大きな圏達の2-圏
次の充満部分圏の系列があります。
$`\quad \mbf{WellORD} \subseteq_\mrm{full} \mbf{TotORD} \subseteq_\mrm{full}\mbf{ORD}
\subseteq_\mrm{full}\mbf{PREORD}
`$
プレ順序集合のプレ順序関係は $`\preceq`$ で書くことにします。プレ順序集合は、
$`\quad A = (\u{A}, \preceq_A)`$
ですが、記号の乱用はいつもの通りです。
プレ順序集合 $`A`$ に対して、次の関係 $`\approx`$ を定義します。
$`\text{For }a, b \in \u{A}\\
\quad a \approx_A b :\Iff a \preceq_A b \land b \preceq_A a
`$
記号 '$`\preceq`$'、'$`\approx`$' は、一般論でも特定事例でも使います。圏 $`\cat{C}`$ のモノ射を使って定義した関係 $`\preceq^{\cat{C}}_\mrm{mono}`$ は以下のようです。
$`\text{For }\cat{C} \in |\mbf{CAT}|\\
\text{For }A, B \in |\cat{C}|\\
\quad A \preceq^{\cat{C}}_\mrm{mono} B :\Iff \exists m\in \cat{C}(A, B).\, m \text{ is monic}
`$
$`\cat{C} = \mbf{Set}`$ のとき、$`\preceq^{\mbf{Set}}_\mrm{mono}`$ を単に $`\preceq_\mrm{mono}`$ と書きます。さらに文脈から明らかなら、$`\preceq_\mrm{mono}`$ を単に $`\preceq`$ と書きます。$`\approx^{\mbf{Set}}_\mrm{mono}`$ も同様なルールで運用します。
上記のルールで、カントール／ベルンシュタインの定理は次のように簡潔に書けます。
$`\text{For }A, B \in |\mbf{Set}|\\
\quad A \approx B \Imp A \cong B
`$
簡潔ではない書き方なら以下のようです。
$`\text{For }A, B \in |\mbf{Set}|\\
\quad A \approx^{\mbf{Set}}_\mrm{mono} B \Imp A \cong_{\mbf{Set}} B
`$
プレ順序集合のあいだの単調写像のあいだにプレ順序を定義できます。
$`\text{For }A, B \in |\mbf{PREORD}|\\
\text{For }f, g: A \to B \In \mbf{PREORD}\\
\quad f \preceq_{[A, B]} g :\Iff \forall x\in A.\, f(x) \preceq_B g(x)
`$
$`A = (\u{A}, \preceq_A)`$ がプレ順序集合のとき、規準的〈canonical〉な方法で $`A`$ は圏とみなせます。単調写像のあいだのプレ順序 $`\preceq_{[A, B]}`$ は自然変換とみなせます。この事実により、$`\mbf{PREORD}`$ を $`\mbf{CAT}`$ の部分2-圏とみなしてしまいます。つまり、次が成立するとします。
$`\quad \mbf{PREORD} \subseteq \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}`$
例えば、$`(|\mbf{Set}|, \preceq_\mrm{mono}) \in |\mbf{PREORD}|`$ なので、$`(|\mbf{Set}|, \preceq_\mrm{mono}) \in |\mbf{CAT}|`$ だと言えます。プレ順序集合達の圏の部分圏も、$`\mbf{CAT}`$ の部分2-圏です。
グロタンディーク宇宙と論理式の相対化
この節は、言い忘れたことの追記という感じです。
集合論で使う論理式では、$`\forall x.(\cdots)`$ や $`\exists x.(\cdots)`$ のように、限量子の束縛変数に何の制限も付けない形が許されます。束縛変数（例えば $`x`$）は、「集合を表す」という以外の条件は付いてません。
無制限の限量子〈unbounded quantifier〉をグロタンディーク宇宙 $`\U`$ 内で解釈するときは、次のようにします。
- $`\forall x.(\cdots)`$ は、$`\forall x\in \U.(\cdots)`$ に変換してから解釈する。これは、$`\forall x. (x\in \U \Imp (\cdots) )`$ のこと。
- $`\exists x.(\cdots)`$ は、$`\exists x\in \U.(\cdots)`$ に変換してから解釈する。これは、$`\exists x. (x\in \U \land (\cdots) )`$ のこと。
論理式に対する上記の変換操作を相対化〈relativization〉といいます。ZFC集合論の論理式 $`\phi`$ があったとき、グロタンディーク宇宙 $`\U`$ で相対化した論理式を $`\phi^\U`$ とします。
グロタンディーク宇宙内でも「普通に集合論ができる」とは次のことを意味します。
- 論理式 $`\phi`$ がZFC集合論で成立するなら、$`\U`$ に相対化した論理式 $`\phi^\U`$ も成立する。
これは、順序数や基数の議論をグロタンディーク宇宙 $`\U`$ 内に制限することを正当化します。$`\U`$ 内に制限した順序数や基数は、ZFC集合論の順序数や基数のミニチュアモデルになっています。ミニチュアといっても十分に巨大です。
等力関係
どんな圏 $`\cat{C}`$ に対しても、同型同値関係 $`\cong_\cat{C}`$ を定義できます。集合圏の同型同値関係 $`\cong_\mbf{Set}`$ は特に重要なものです。$`A \cong_\mbf{Set} B`$ であることを、集合 $`A`$ と集合 $`B`$ は equipotent だというようです。equipotent の日本語は等力にします。$`|\mbf{Set}| = \U`$ 上の同値関係 $`\cong_\mbf{Set}`$ は等力関係〈equipotent relation〉です。集合圏の同型同値類達の集合 $`\mrm{IsoClass}(\mbf{Set})`$ の要素は等力同値類〈equipotent equivalence class〉ということになります。
ラッセル〈Bertrand Russell〉の定義だと、基数とは等力同値類のことです。例えば、基数 $`5`$ は、5つの要素を持つすべての集合からなるクラス（「クラス」は「大きい集合」と同義）です。ラッセル流の定義だと、基数が小さい集合ではないので取り扱いに若干難があります。
現在の基数の（メジャーな）定義は、特別な順序数として定義するものです。集合に対する基数割り当て〈cardinal assignment〉（後述）もうまく定義できます。ここらへんは、フォン・ノイマン〈John von Neumann〉のアイディアらしいです（Von Neumann cardinal assignment 参照）。
順序数の復習
「集合 $`x`$ が順序数であること」はZFC集合論の言葉（論理式）で表現できます。この論理式をグロタンディーク宇宙 $`\U`$ に相対化して、“すべての順序数の集合” $`\O`$ が定義できました。定義から $`\O\subseteq \U`$ です。
$`\U`$ 上の関係 $`\ineq`$ を次のように定義します。
$`\text{For }x, y\in \U\\
\quad x \ineq y :\Iff x \in y \lor x = y
`$
一般的には $`\subseteq`$ と $`\ineq`$ は違った関係ですが、$`\O`$ に制限すると同じ関係になります。
$`\text{For }\alpha, \beta \in \O\\
\quad \alpha \subseteq \beta \Iff \alpha \ineq \beta
`$
順序集合として、 $`(\O, \subseteq)`$ と $`(\O, \ineq)`$ はまったく同じです。この順序集合を次のように書きます。
$`\quad \mbf{Odnl} := (\O, \subseteq) = (\O, \ineq)`$
順序集合としての $`\mbf{Odnl}`$ は次のように書けます
$`\quad \mbf{Odnl} = (\u{\mbf{Odnl}}, \le_{\mbf{Odnl}})`$
次が成立します。
$`\quad \u{\mbf{Odnl}} = \O\\
\quad (\le_{\mbf{Odnl}}) = (\subseteq) = (\ineq)
`$
順序集合はそのまま圏とみなす約束なので、次が成立します。
$`\quad \mbf{Odnl} \in |\mbf{ORD}|\\
\quad \mbf{Odnl} \in |\mbf{WellORD}|\\
\quad \mbf{Odnl} \in |\mbf{CAT}|\\
\quad \mbf{Odnl} \in |\mbf{ThinCAT}|
`$
これにより、$`\mbf{Odnl}`$ を、順序集合論の観点からも圏論の観点からも調べることができます。
$`\U`$ よりひとつ上のレベルのグロタンディーク宇宙 $`\mathbb{U'}`$ における順序数達のクラスを $`\mathbb{O'}`$ とします。次が成立します。
$`\quad \O \in \mathbb{O'}\\
\quad \O \subsetneq \mathbb{O'}\\
\quad \O = (\mathbb{O'}_{\lt \O})
`$
誘導充満部分圏、本質的に広い部分圏
$`\cat{C}`$ は圏で、$`X \subseteq |\cat{C}|`$ とします。部分集合 $`X`$ を対象達の集合とする $`\cat{C}`$ の充満部分圏はただひとつ決まります。それを、部分集合 $`X`$ から誘導{された}?充満部分圏〈induced full subcategory〉と呼ぶことにし、$`\widetilde{X}`$ と書くことにします。
$`\O\subseteq \U, \U = |\mbf{Set}|`$ なので、順序数達のクラスから誘導された充満部分圏 $`\widetilde{\O}`$ が決まります。$`|\widetilde{\O}| = |\mbf{Odnl}| = \O`$ ですが、圏 $`\mbf{Odnl}`$ と圏 $`\widetilde{\O}`$ は全然違います。$`\mbf{Odnl}`$ はとてもやせた圏（やせていて骨格的）ですが、$`\widetilde{\O}`$ はパンパンに（限界まで）太っています。
$`\cat{C}`$ は圏で、$`\cat{D}\subseteq \cat{C}`$ だとします。包含関手 $`\cat{D}\hookrightarrow \cat{C}`$ が本質的に全射的なとき、$`\cat{D}`$ は $`\cat{C}`$ の本質的に広い部分圏〈essentially {wide | broad} subcategory〉といいます。$`|\cat{D}| = |\cat{C}|`$ なら広い部分圏〈{wide | broad} subcategory〉です。$`\cat{C}`$ の部分圏 $`\cat{D}`$ が、本質的に広い充満部分圏ならば、$`\cat{C}`$ と $`\cat{D}`$ は圏同値になります。
$`X \subseteq |\cat{C}|`$ のとき、部分集合 $`X`$ を離散圏とみなして本質的に広い部分圏のとき、部分集合 $`X`$ は本質的に広い部分対象集合〈essantially {wide | broad} subset of objects〉といいます。部分対象集合は、「部分・対象集合〈subset of the set of objects〉」であって「部分対象・集合〈set of subobjects〉」ではないので注意してください。
「順序数と集合圏」で述べた $`\mbf{Odnl} \simeq_\mrm{equiv} \mbf{WellOrd}^\mrm{Emb}`$ とツェルメロの整列可能定理〈Zermelo’s well-ordering theorem〉から、順序数達のクラス $`\O`$ は圏 $`\mbf{Set}`$ の本質的に広い部分対象集合になります。圏 $`\widetilde{\O}`$ は本質的に広い充満部分圏であり、$`\mbf{Set}`$ と圏同値な圏です。
$`X`$ が圏 $`\cat{C}`$ の本質的に広い部分対象集合のとき、商集合への標準射影 $`\pi : |\cat{C}| \to \mrm{IsoClass}(\cat{C})`$ の制限 $`\pi|_X : X \to \mrm{IsoClass}(\cat{C})`$ は全射になります。圏 $`\mbf{Set}`$ の本質的に広い部分対象集合で、できるだけ小さい集合〈クラス〉 $`X`$ を見つけると、$`\pi|_X`$ が双射〈全単射〉になります。そんな $`X`$ を見つけることが基数の話になります。
基数の定義と性質
基数を特別な順序数として定義します。が、まず、順序数達のクラス $`\O`$ 上の関係が幾つかあってややこしいので整理しておきます。
$`\mbf{Odnl}`$ は骨格的圏（$`(\O, \lt_\mbf{Odnl})`$ が順序集合）なので、圏の同型同値関係 $`\cong_\mbf{Odnl}`$ はイコール関係 $`=`$ です。よって、$`\cong_\mbf{Odnl}`$ の意味でイコール $`=`$ を使い、$`\cong_\mbf{Odnl}`$ を $`\cong`$ と略記することはしません。
記号 '$`\cong`$' は $`\cong_{\widetilde{\O}}`$ の意味で使います。$`\alpha \cong \beta`$ と書いたら、$`\alpha, \beta`$ が集合として等力〈equipotent〉であることです。
順序集合としての $`\mbf{Odnl}`$ の順序関係 $`\le_{\mbf{Odnl}}`$ は $`\le`$ と略記します。$`(\le) = (\subseteq) = (\ineq)`$ でした。$`\le`$ から誘導された厳密順序関係は $`\lt`$ と書きます。$`(\lt) = (\subsetneq) = (\in)`$ です。
順序数 $`\gamma`$ が基数〈cardinal number〉であるとは次が成立することです。
$`\quad \forall \alpha \in \O.( \alpha \cong \gamma \Imp \gamma \le \alpha )
`$
等力な順序数達のなかでは最小な順序数が基数です。
すべての基数からなるクラスを $`\C`$ とします。つまり：
$`\quad \C := \{\gamma \in \O \mid \forall \alpha \in \O.( \alpha \cong \gamma \Imp \gamma \le \alpha)\}`$
次が言えます。
$`\quad \C \cong \mrm{IsoClass}(\widetilde{\O}) \In \mbf{SET}`$
圏の同型同値類の集合 $`\mrm{IsoClass}(\widetilde{\O})`$ の定義から、この集合〈クラス〉の要素は、順序数達の等力同値類です。等力同値類のなかで最小なものが基数でした。この事実から、次の写像が定義できます。
- $`\pi|_\C : \C \to \mrm{IsoClass}(\widetilde{\O})\In \mbf{SET}`$ （商集合への標準射影の制限）
- $`\mrm{least} : \mrm{IsoClass}(\widetilde{\O}) \to \C \In \mbf{SET}`$ （同値類の最小元を選び出す）
この2つの写像が互いに逆なことは容易にわかるので、集合の同型 $`\C \cong \mrm{IsoClass}(\widetilde{\O})`$ が言えます。
$`\mrm{IsoClass}(\widetilde{\O}) = \mrm{IsoClass}(\mbf{Set})`$ だったので、次が成立します。
$`\quad \C \cong \mrm{IsoClass}(\mbf{Set}) \In \mbf{SET}`$
これで、ラッセル流の基数（等力同値類）とフォン・ノイマン流の基数（特別な順序数）が一対一対応することが分かりました。
基数達の圏と基数割り当て
$`\C \subseteq \O \subseteq \U = |\mbf{Set}|`$ なので、集合圏の充満部分圏 $`\widetilde{\C}`$ が定義できます。圏 $`\widetilde{\C}`$ は集合圏と圏同値な圏になります。これは、包含関手が充満忠実かつ本質的に全射的なことです。
包含関手 $`\widetilde{\C} \hookrightarrow \mbf{Set}`$ が充満忠実になるのは定義から明らかです。包含関手が本質的に全射的なことを示すために、包含関手のレトラクション関手（「射影、入射、セクション、レトラクション」参照）を作りましょう。そのレトラクション関手（の対象パート）がフォン・ノイマン流の基数割り当てになります。
これから、関手 $`R:\mbf{Set}\to \widetilde{\C} \In\mbf{CAT}`$ を定義します。$`R`$ の対象パート $`R_\mrm{obj} : |\mbf{Set}| \to |\widetilde{\C}| \In\mbf{SET}`$ を $`\mrm{card}`$ という別名でも参照します。$`\mrm{card}`$ は以下のように定義します。
$`\text{For }A \in |\mbf{Set}|\\
\quad \mrm{card}(A) := \mrm{least}\,\{ \alpha \in\O \mid A \cong_\mbf{Set} \alpha \}
`$
ここで、$`\mrm{least}`$ は順序関係 $`(\le_{\mbf{Odnl}}) = (\subseteq)`$ に関する最小元です。順序集合〈とてもやせた圏〉$`\mbf{Odnl}`$ は整列クラス（$`\mbf{WellORD}`$ の対象）なので、非空部分集合の最小元の存在は保証されています。なので、$`\mrm{card}`$ の定義は大丈夫〈well-defined〉です。そして、$`\mrm{card}(A)`$ は（$`\mrm{least}`$ を取っているので）基数になります。
次に、関手 $`R`$ のホムパートを定義します。ホムパートは、次のような写像〈関数〉の族です。
$`\text{For }A, B \in |\mbf{Set}|\\
\quad R_{A, B} : \mbf{Set}(A, B) \to \widetilde{\C}(\mrm{card}(A), \mrm{card}(B))
\In \mbf{Set}
`$
$`\mrm{card}(A)`$ の定義から、$`A \cong_{\mbf{Set}} \mrm{card}(A)`$ は成立しています。この同型を与える写像を1つ選んで $`r_A : A \to \mrm{card}(A)`$ とします。すべての集合に対して同型写像を選んで、写像のインデックス付き族 $`(r_X)_{X\in |\mbf{Set}|}`$ を作ります*1。族 $`(r_X)_{X\in |\mbf{Set}|}`$ をもとに、関手 $`R`$ のホムパートは次のように定義します。
$`\text{For }f \in \mbf{Set}(A, B)\\
\quad R_{A, B}(f) := ({r_A}^{-1} ; f ; r_B\; : \mrm{card}(A) \to \mrm{card}(B) \In \mbf{Set})
`$
$`R`$ が実際に関手であることの確認は必要ですが割愛します。
$`\widetilde{\C}`$ の包含関手を $`J`$ としたとき、$`R`$ と $`J`$ には次の関係があります（'$`*`$' は、関手の図式順結合記号）。
$`\quad J*R = \mrm{Id}_{\widetilde{\C}} \; : \widetilde{\C} \to \widetilde{\C}\In \mbf{CAT}`$
このことも定義に従えばすぐ確認できるでしょう。
自己関手 $`R*J: \mbf{Set} \to \mbf{Set}`$ の対象パートを見ると、$`J`$ が本質的に全射的なことがわかります。同型写像の族 $`(r_X)_{X\in |\mbf{Set}|}`$ が、本質的に全射的である証拠になっています。
基数 $`\gamma, \gamma'`$ に関しては、$`\gamma \cong \gamma' \Imp \gamma = \gamma'`$ なので、圏 $`\widetilde{\C}`$ は骨格的です。$`\widetilde{\C}`$ は、本質的に広い充満部分圏かつ骨格的なので、集合圏 $`\mbf{Set}`$ の骨格になっています。
これで、基数達の圏が集合圏の骨格であり、埋め込み関手のレトラクション関手（の対象パート）が基数割り当て $`\mrm{card}`$ になっていることが分かりました。
おわりに
なんで、順序数や基数を改めて話題にするのかというと、有限・可算無限とは限らないツリー構造やコレクション・データ型を扱いたいからです（「再帰的構成のために： 順序数の圏」から言っている動機）。大規模な帰納・再帰を使った議論をしたい、ということです。大規模な〈超限的な〉帰納・再帰の基本は整列集合や順序数です。
また、集合圏内のスパン達の2-圏を考えると、ホム圏 $`\mrm{SPAN}(\mbf{SET})(A, B)`$ は小さくない圏になります。大きなホム圏の同型同値類の集合を作ると（小さくはなりませんが）幾分扱いやすくなります。このとき、基数の概念や算術が必要になります。
他にも、加算無限以上の基数を持つ小さい集合や大きな集合〈クラス〉を扱わざるを得ないことはけっこうあります。順序数・基数は知っておいたほうが良さそうです。
*1:同型写像達のインデックス付き族が作れるか？ は問題ですが、作れると仮定します。