まあ、速やかに神奈川県にて住所変更し、東京にて新住民票など持参で、というのが本当ですが、事実上、更新のついでに住所変更する人が圧倒的です。 東京（警視庁管内）はその程度のことは慣れています。 ご心配なく。

引越し後に転入届を出して、更新と同時に免許証の住所を変更するのが一番スマートだと思います。 神奈川で発行された更新ハガキを持って行くと、講習区分が分かるので、一応持って行った方が良いと思います。 東京都は完全予約制になってますが、東京都公安委員会が発行した更新ハガキが無い人は、予約無しで更新出来ます。 初回更新なので、お近くの試験場で更新して下さい。

東京都の免許更新は完全予約制になってはいますが、警視庁からのハガキがない人（免許証の住所が東京都ではない人）は、予約不要となっています。 直接、東京都の運転免許試験場へ向かってください。 初回更新者講習の受付時間は、 ・平日 8:30～14:00 ・日曜 8:00～11:00／13:00～14:00 です。 住所変更も同時に行えますので、更新の前に必ず住民票住所を東京都に変更し、それを証明できる書類を持って行ってください。

スムーズなのは、住民票を移してから、新しい住民票の写し(または住所訂正済みのマイナンバーカード)を持参して、東京の試験場で更新手続きを取る事です。東京都の場合、予約が無くても更新手続きはできますが、枠が限られているので朝イチで行った方がいいですね。出来上がる免許証の表の住所が新住所になります。 ただ、予約の取り易さ云々なら、神奈川は更新の予約制は実施していないようですから、神奈川のほうが楽でしょう。

所轄の警察署に確認して下さい。 100%正確ですよ。