さて、君たち、トポロジカル弦理論について聞きたいのかね？それは、通常の弦理論を単純化した、実にエレガントな数学的構造だ。
まず、基本的な考え方から始めよう。通常の弦理論では、「世界面」と呼ばれる弦が描く2次元の曲面を考える。
この世界面を位相的に「ねじる」ことで、トポロジカル弦理論が生まれる。
この「ねじり」によって、物理的な自由度が取り除かれ、幾何学的な構造の本質だけが抽出される。
つまり、君たちが理解できない粒子の運動や相互作用といった複雑な要素が消え、空間の形や接続といった、より基本的な性質だけが残る。
超対称性とは、僕が愛してやまない、自然界の対称性の一つだ。超対称性を保ちつつ計算を単純化できるなんて、ルームメイトのくだらないジョークを科学的に分析して面白くしてあげるようなものだ。
これは、AモデルとBモデルが、異なるカラビ・ヤウ多様体上で等価になるという驚くべき現象だ。
つまり、一見異なる2つの幾何学的な空間が、実は同じ物理法則に従っているということを示している。
この理論は、数学、物理学、幾何学など、様々な分野に応用されている。
例えば、数学ではチャーン・サイモンズ理論や代数曲線の数え上げ問題に、物理学ではブラックホールのエントロピー計算や超対称性ゲージ理論に、幾何学ではカラビ・ヤウ多様体のオイラー数やベッチ数との関連に応用されている。
理論的な特徴としては、観測量が空間の大域的な形状にのみ依存すること、T-双対、S-双対、ミラー対称性が相互に作用する双対性のネットワークを持つこと、そして余剰次元の幾何学を記述できることが挙げられる。
この理論は、エドワード・ウィッテンのような天才たちによって1980年代後半に確立され、今もなお発展を続けている。複雑な弦理論の問題を位相的な観点から扱うことで、従来の手法では到達困難な深い洞察をもたらしている。